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胡老师为你解析中考历史上数学十大难题

时间:2011-12-25 19:39来源:未知 作者:新年华教育
首语: 不管是北京市实行统考还是非统考,不管是在模拟题还是中考真题中。难题,怪题一直以来都是老师、家长、学生关注和讨论的焦点。何谓难题,简单点说就是在考试中具有区分度的题目(或得分率低的题目),通俗点说就是大部分学生看见题目以后无从下手或者

 

首语:
不管是北京市实行统考还是非统考,不管是在模拟题还是中考真题中。难题,怪题一直以来都是老师、家长、学生关注和讨论的焦点。何谓难题,简单点说就是在考试中具有区分度的题目(或得分率低的题目),通俗点说就是大部分学生看见题目以后无从下手或者根本就没有思路的题目。
多年的中考造就了很多人才,也造就了很多有名的题目,故在此胡老师盘点了近些年来北京市初三数学模拟考试或中考真题中出现的十大难题,并针对于这些难题做一些简单分析,包括知识点的分析和题型的延伸等等。
 
北京市中考数学十大难题第十名:
2005年北京市海淀区中考数学试题第25题(注:2005年北京市还未全市统一考试,海淀区有自主命题权)
 
难度星级:★★★★★★
 
难度系数:(得分率)0.35
(注:难度系数=本题得分平均分/本题总分)
 
题目背景:在了解本题目背景之前我们先来了解下本次命题组长翟刚老师。

 

  翟刚

 

翟刚:全国著名中学数学课堂教学专家、北京市海淀区数学名师,是北京市中学数学教师中最富于教学创造力、讲课最能吸引学生的老师之一。翟老师从事教学几十年,对于数学教学倾注了全部的心血,创造了定理图形分析法。他多次参加市和区的中考命题工作,参与《北京市中考数学考试说明》的编写工作,他在教学中创造性的研究出平面几何的定理图形分析法,多次参与海淀区中考命题和2007——2010北京市中考命题。,翟老师对几何有很多很独特的研究和见解,所以在出题时,往往能出很多在几何方面很难很怪的题目。

 

以下是摘至网络学生对翟老师的评价:
1.还让不让人活了啊 ,又是翟刚出题,我这数学还考什么啊。
2.他是一个怪人,题也很怪
3.看到这个名字,真“亲切”
4. 他是个好老师
5. 翟刚啊...今年要是和07年那样我就彻底完蛋了...
6. 翟刚出几何题走火入魔了???
7. 他出的一般是比较“怪”
8. 我觉得他是个好老师
9.听说翟刚车的几何数学题很难得,今年中考好像就他出题(#`′)靠太憋屎了!!+_+
 
听到上述各位同学的描述我们大致对翟老师出题的难度和“怪有”了一定的了解,那我们先来看看翟老师给我们带来的“十大”难题中的第一题。
 
原题:25.已知△ABC,分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。
(1)   如图1,当△ABC是等边三角形时,请你写出满足图中条件,四个成立的结论;
 

 
(2) 如图2,当△ABC中只有∠ACB=60°时,请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和。 
 
 

 


 

题目简要分析这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题,尤其是面对这种面积和等的问题,不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论,且缺少一些必要的手段和方法去证明,平时练习也相对少一些,故本题第二问得分率很低。关于第二问本文提供3种解法,仅供参考。
 
解法一:
解题思路:观察AF∥BC,在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF,证明余下部分面积等于S△BCE即可(很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC,剩余部分DBEM是平行四边形,对角线平分面积)
                                     解:(1)AB=CE,AC=BE,AF=BE,S△ABC=S△ABD等等
                                            (2)过A作AM∥FC交BC于M,连结DM、EM。
 

 
                                                        ∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
                                                        ∴∠ACB=∠CAF
                                                        ∴AF∥MC
                                                        ∴四边形AMCF是平行四边形.
                                                     又∵FA=FC,
                                                        ∴四边形AMCF是菱形.
                                                        ∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°,且S△MAC= S△ACF
                                                        在△BAC与△EMC中,
                                                        CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
                                                       ∴△BAC≌△EMC.
                                                       ∴AB=ME
                                                    又∵AB=DB
                                                        ∴DB=ME
                                                    又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM,∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°
                                                        ∴∠DAM=∠BAC,
                                                        在△DAM与△BAC中,
                                                       AD=AB, ∠DAM=∠BAC,AM=AC
                                                        ∴△DAM≌△BAC
                                                        ∴DM=BC
                                                     又∵BC=BE
                                                        ∴DM=BE
                                                        ∴四边形DBEM是平行四边形
                                                        ∴S△BDM= S△BEM
                                          由上所述∴△DAM≌△EMC
                                                        ∴S△DAM= S△EMC
                                                        ∴S△BDM+ S△DAM+ S△MAC= S△BEM+ S△EMC+ S△ACF
                                                     即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
 
所用知识点:图形的分割能力,平行四边形面积,旋转,全等

本题需要有类比的思想,面积和等于面积和,证明方法可类似于线段和等于线段和。可先证明部分相等,再证明剩余部分相等。

 

解法二:
解题思路:观察AF∥BC,AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和 S△BCE 转换后能够发现较明显的图形旋转。
连结BF,DC,AE
 

                                                      ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,
                                                         ∠BAF=∠CAF+∠BAC,且∠DAB=∠CAF=60°
                                                      ∴∠DAC=∠BAF
                                                      在△DAC与△BAF中
                                                      AD=AB, ∠DAC=∠BAF,AC=AF
                                                      ∴△DAC≌△BAF
                                                      ∴S△DAC= S△BAF
                                                   又∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
                                                      ∴∠ACB=∠CAF
                                                      ∴AF∥BC
                                                      ∴S△BAF= S△ACF
                                                      ∴S△DAC= S△ACF
                                                  同理可证:S△DBC= S△CBE
                                                      ∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,
                                                         ∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA =∠CBE=60°
                                                      ∴∠DBC =∠EBA
                                                      在△DBC与△ABE中
                                                      BD=AB, ∠DBC =∠EBA,BC=BE
                                                      ∴△DBC≌△ABE
                                                      ∴S△DBC= S△ABE
                                                  又∵∠ACB=60°,∠CBE=60°,
                                                      ∴∠ACB=∠CBE
                                                      ∴AC∥BE
                                                      ∴S△ABE= S△CBE
                                                      ∴S△DBC = S△CBE
                                                      ∴S△DAC+ S△DBC= S△ACF+ S△CBE

                                                   即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF

 

所用知识点:图形的分割能力,旋转,全等,平行线间三角形等积转换
请注意:平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想
 
解法三:
解题思路:由结论可知分别是4个三角形面积和,设两边AC、BC长度,利用夹角是特殊角可算出第三边AB长度,利用都是等边三角形,用边长强行表示出各三角形面积,余下就是代数整理过程。

              解:过点A作AG⊥BC交BC于点G,过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a,AC=b,

 

 



 

 

所用知识点:三角函数计算,三角形面积计算(尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦),建议各位同学能记忆等边三角形面积计算公式S= a2(a为边长,在选择和填空题方面可直接应用,比较方面)
 
由本题我们可以联想到:
2005年本题出现后,旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来,关于面积转换和分割在近几年考试和练习中也越来越多。现针对于旋转和面积转换分割问题列举出一些常规试题。
(一)旋转
 1.2009年石景山区数学二模第25题
如图①,四边形ABCD中,AB=CB,∠ABC=60°,∠ADC=120°,请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;

(2)如图②,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,若点P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120°,请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论。



 

解题思路:第一问是一个典型的截长补短或者旋转的题目。连接AC就能构造等边三角形,就能旋转。第二问,多条线段关系,一定先利用各种条件尽量转化为三条线段,再求解。发现第二问条件类似于第一问,关键条件120°位置转变,可以利用第一问结论去构造图形,转换PA+PD为一条线段。

                               解:(1)如图①,延长CD至E,使DE=DA.连结AC,


 

                                                          ∵∠ADC=120°
                                                          ∴∠ADE=60°
                                                          ∴△EAD是等边三角形.
                                                          ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD
                                                              ∠CAE=∠DAE+∠CAD
                                                              ∠BAC=∠DAE=60°
                                                         ∴∠BAD=∠CAE                                             
                                                         ∴在△BAD和△CAE中
                                                             BA=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
                                                         ∴△BAD≌△CAE.
                                                         ∴BD=CE= DE+CD=AD+CD
                                       (2)如图②,在四边形ABCD外侧作正三角形AB' D,连结 B'C,AC
 

 
                                                          ∵四边形AB' DP符合(1)中条件,

                                                          ∴B' P=AP+PD

                                                          ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD

                                                              ∠CA B'=∠DAB' +∠CAD
                                                              ∠BAC=∠DAB' =60°
                                                          ∴∠BAD=∠CA B'
                                                          在△ADB和△A B'C中 
                                                          AB=AC, ∠BAD=∠CAB' ,AD= A B'
                                                             △ADB≌△A B'C
                                                                B'C=DB
                                                 (i)若满足题中条件的点P在 B'C上,
                                                     则 B'C=PB'+PC.
                                                         ∴ B'C=AP+PD+PC
                                                         ∴BD=PA+PD+PC
                                                 (ii)若满足题中条件的点P不在 B'C上,
                                                         ∵ B'C<PB+PC
                                                         ∴ B'C<AP+PD+PC
                                                         ∴BD<PA+PD+PC

                                                  综上,BD≤PA+PD+PC。

所用知识点:旋转,截长补短,构造前一问图形,三角形三边关系,全等。
请注意:在几何问题中第二问常常用到第一问的结论。要善于去构造第一问的图形或结论去帮助解决较难的第二问。
 
2. 如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形。
   (1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;

   (2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由。

 


 

 

 

解题思路:本题是典型的旋转题目,条件中有较多等边三角形,伴随等边三角形的旋转,图中各点连线构成的三角形也在旋转,通过全等后,注意利用全等结论“边等”和“角等”的转换,本题应该可以轻松破解。
 

 



 

 


 

所用知识点:旋转,勾股定理,相似比与面积比关系

请注意:全等后的结论一定要多利用,多与之前已有的条件相结合,尤其是角,这样方面我们去导角,从而进行下一次的转换
 
3.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:

如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.

 

 


 

解题思路:(1)典型SAS全等

                  (2)利用第一问结论,转化条件后,再用一次全等

                    (3) 利用(1)(2)中结论,构造图1,利用线段长度放在RT△中计算
 

 


 

 

所用知识点:旋转,勾股定理
本题相对前两题较简单,但是前两题中所用到的,“多利用前面问题的结论,多构造前面问题图形”“全等后的结论的利用,与已知条件相结合”在这道题目中都有所展现。
 
(二)平行线间等积转化

如图ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米,求△CDF的面积。

 

 


 

解题思路:明显△ADE与△CDF不全等,故不考虑全等证明。图中有多组平行线,可以构造平行线间三角形等积转化

提示:SADE=SAEC=SAFC=SDFC=4平方厘米
 
(解法二:分别以AE,DC为底强行构造出SADE 和SDFC 的表达式,利用相似去计算表达式相等,同学们可自行完成)
 
 (三) 操作能力平分面积
 
(1)(08年西城一模)如图:梯形纸片ABCD,AD∥BC, ,设AD=a,BC=b

请你设计两种方法,只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD分割成面积相等的两部分,画出设计的图形并简要说明理由。

 

 


 

解题思路:①直接构造梯形面积一半S=1/4(a+b)h,利用高h不变,构造底=1/2(a+b)的三角形;

②将梯形转化为面积相等的平行四边形,利用过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形面积,从而平分梯形面积。
 
解:方法一:如图①,取BM=(a+b)/2,连接AM.AM把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分.
       方法二(如图②):1.取DC的中点G,过G作EF∥AB,交BC于点F,交AD的延长线于点E.
                                       2.连接AF,BE,相交于点O.
                                       3.过O任作直线MN,分别与AD,BC相交于点N、M,沿MN剪一刀即把梯形纸片ABCD分成面积相等的两部分.

 

 


 

2.已知四边形ABCD,在AD上求一点P,使BP平分四边形ABCD的面积(四边形ABCD是任意的)

 

 


 

解题思路:因为在AD上找一点,可以将四边形ABCD转化为面积以AD所在直线为底的面积相等的三角形,通过中线平分三角形面积,从而平分四边形面积。


 

解:如图

1).连结BD ,过C作CE∥BD交AD的延长线于E 
2).连结BE ,则四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积
3).取AE的中点P ,连结BP 即可。(中线平分三角形的面积) 

 

后语:
 
1. 关于旋转问题,永远是初三考试中常考问题,在这类问题中常有很明显的条件出现,比如等腰三角形,等边三角形,正方形等等,需要同学做题时常观察,要心细。这类题目的解法相对较单一,只要能观察出旋转后续全等转换等应该不是难事。
2.纵观现今的中考真题或各区初三期末考试或者是一二模考试,对面积的问题考察的越来越频繁,考察的方向越来越多样化,题目出得越来越“活”,需要自己动手操作的题目越来越多。这类题目常常需要注意整体面积不变去构造边长或图形的旋转,翻折等,还要善于构造平行线,利用等积去转换问题。
3.再难的题目不管是处于22、23、24或25题,请注意这些题目的第一问或者前两问往往都比较简单或者难度一般,但是这些问题里面往往提示或者暗示了后续问题的一个思考方向。要学会善于利用他们去解决问题。

 

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